1. **Problemstellung:** Zwei ideale Würfel werden geworfen. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme mindestens 8 beträgt? (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme mindestens 8 beträgt, wenn mindestens einer der Würfel eine 4 zeigt? --- 2. **Grundlagen:** - Jeder Würfel hat 6 Seiten, also gibt es insgesamt $6 \times 6 = 36$ mögliche Ergebnisse. - Die Augensumme ist die Summe der beiden geworfenen Zahlen. - Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist $\frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$. --- 3. **Teil (a): Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme mindestens 8 beträgt** - Mögliche Augensummen sind 8, 9, 10, 11, 12. - Wir zählen die Kombinationen für jede Summe: - Summe 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → 5 Kombinationen - Summe 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4 Kombinationen - Summe 10: (4,6), (5,5), (6,4) → 3 Kombinationen - Summe 11: (5,6), (6,5) → 2 Kombinationen - Summe 12: (6,6) → 1 Kombination - Gesamt günstige Ergebnisse: $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ - Wahrscheinlichkeit: $$P(\text{Summe} \geq 8) = \frac{15}{36} = \frac{\cancel{15}}{\cancel{36}} = \frac{5}{12}$$ --- 4. **Teil (b): Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme mindestens 8 beträgt, wenn mindestens einer der Würfel eine 4 zeigt** - Bedingung: Mindestens einer der Würfel zeigt eine 4. - Mögliche Ergebnisse mit mindestens einer 4: - (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), - (1,4), (2,4), (3,4), (5,4), (6,4) - Anzahl dieser Ergebnisse: 6 (erste Würfel 4) + 5 (zweite Würfel 4, ohne (4,4) doppelt zu zählen) = 11 - Nun bestimmen wir, welche dieser 11 Ergebnisse eine Summe von mindestens 8 haben: - (4,4) Summe 8 - (4,5) Summe 9 - (4,6) Summe 10 - (5,4) Summe 9 - (6,4) Summe 10 - Günstige Ergebnisse: 5 - Wahrscheinlichkeit: $$P(\text{Summe} \geq 8 \mid \text{mindestens ein 4}) = \frac{5}{11}$$ --- **Endergebnis:** - (a) $\boxed{\frac{5}{12}}$ - (b) $\boxed{\frac{5}{11}}$