1. **Problem statement:** Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wir sollen den Ergebnisraum angeben und die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse berechnen. 2. **Ergebnisraum:** Da jeder Wurf 6 mögliche Ergebnisse hat, ist der Ergebnisraum $\Omega = \{(i,j) \mid i=1,...,6; j=1,...,6\}$ mit $|\Omega|=36$. 3. **Formeln:** Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A$ ist $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$, wobei $|A|$ die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist. --- a) Ereignis: Der erste Wurf hat mindestens die Augenzahl 5 und der zweite Wurf ist gerade. - Mögliche erste Würfe: $\{5,6\}$ (2 Möglichkeiten) - Mögliche zweite Würfe: $\{2,4,6\}$ (3 Möglichkeiten) - Anzahl günstiger Ergebnisse: $2 \times 3 = 6$ - Wahrscheinlichkeit: $$P = \frac{6}{36} = \frac{\cancel{6}}{\cancel{36}} = \frac{1}{6}$$ b) Ereignis: Genau ein Wurf hat die Augenzahl 1. - Fälle: Erster Wurf 1 und zweiter nicht 1, oder erster Wurf nicht 1 und zweiter Wurf 1. - Anzahl günstiger Ergebnisse: - Erster Wurf 1, zweiter Wurf $\neq 1$: $1 \times 5 = 5$ - Erster Wurf $\neq 1$, zweiter Wurf 1: $5 \times 1 = 5$ - Insgesamt: $5 + 5 = 10$ - Wahrscheinlichkeit: $$P = \frac{10}{36} = \frac{\cancel{10}}{\cancel{36}} = \frac{5}{18}$$ c) Ereignis: Die Augensumme der beiden Würfe ist durch 4 teilbar. - Mögliche Summen: 4, 8, 12 - Anzahl günstiger Ergebnisse: - Summe 4: $(1,3),(2,2),(3,1)$ → 3 - Summe 8: $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$ → 5 - Summe 12: $(6,6)$ → 1 - Insgesamt: $3 + 5 + 1 = 9$ - Wahrscheinlichkeit: $$P = \frac{9}{36} = \frac{\cancel{9}}{\cancel{36}} = \frac{1}{4}$$ d) Ereignis: Es wird ein Pasch geworfen (beide Würfe gleich). - Mögliche Paare: $(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)$ → 6 - Wahrscheinlichkeit: $$P = \frac{6}{36} = \frac{\cancel{6}}{\cancel{36}} = \frac{1}{6}$$