1. **Aufgabe 4: Verkehrszählung** Gegeben sind Wahrscheinlichkeiten für Fahrzeugtypen: Lkw $=0{,}23$, Pkw $=0{,}55$, Moped $=0{,}10$, sonstige $=0{,}12$. **a)** Wahrscheinlichkeit für drei Lkws: $$P = 0{,}23 \times 0{,}23 \times 0{,}23 = 0{,}23^3 = 0{,}012167$$ **b)** Wahrscheinlichkeit für drei Pkws oder drei Mopeds: $$P = P(3 \text{ Pkws}) + P(3 \text{ Mopeds}) = 0{,}55^3 + 0{,}10^3 = 0{,}166375 + 0{,}001 = 0{,}167375$$ **c)** Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden Fahrzeuge Pkw und das dritte Lkw sind: $$P = 0{,}55 \times 0{,}55 \times 0{,}23 = 0{,}069575$$ **d)** Wahrscheinlichkeit, dass zwei Pkws und ein Lkw in beliebiger Reihenfolge auftreten: Es gibt $\binom{3}{2} = 3$ mögliche Positionen für die Pkws. $$P = 3 \times (0{,}55^2 \times 0{,}23) = 3 \times 0{,}069575 = 0{,}208725$$ **Unterschied c) und d):** - c) Reihenfolge ist fest (erst Pkw, dann Pkw, dann Lkw). - d) Reihenfolge ist beliebig, nur Anzahl der Fahrzeuge zählt. 2. **Aufgabe 5: Qualitätsmanagement Dichtungen** Gegeben: - $P(M) = 0{,}05$ Wahrscheinlichkeit, dass Dichtung mangelhaft ist. - $P(G) = 0{,}95$ Wahrscheinlichkeit, dass Dichtung gut ist. - $P( ext{Test erkennt Mangel}|M) = 0{,}96$ - $P( ext{Test erkennt Mangel}|G) = 0{,}02$ Gesucht: $P( ext{Test zeigt Mangel})$ Formel: $$P( ext{Test Mangel}) = P(M) \times P( ext{Test Mangel}|M) + P(G) \times P( ext{Test Mangel}|G)$$ Berechnung: $$= 0{,}05 \times 0{,}96 + 0{,}95 \times 0{,}02 = 0{,}048 + 0{,}019 = 0{,}067$$ 3. **Aufgabe 6: Test mit 3 Fragen, 4 Antworten je Frage** Jede Frage hat 1 richtige Antwort, Prüfling rät. Wahrscheinlichkeit für richtige Antwort $p = \frac{1}{4} = 0{,}25$, falsch $q = 0{,}75$. **a)** Alle Antworten richtig: $$P = p^3 = 0{,}25^3 = 0{,}015625$$ **b)** Keine Antwort richtig: $$P = q^3 = 0{,}75^3 = 0{,}421875$$ **c)** Genau zwei Antworten richtig: Anzahl Möglichkeiten: $\binom{3}{2} = 3$ $$P = 3 \times p^2 \times q = 3 \times 0{,}25^2 \times 0{,}75 = 3 \times 0{,}0625 \times 0{,}75 = 0{,}140625$$ 4. **Aufgabe 7: Gerät aus 3 Bauteilen** Jedes Bauteil funktioniert mit Wahrscheinlichkeit $0{,}93$ unabhängig. Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass Gerät ausfällt (mindestens ein Bauteil fällt aus). Formel: $$P( ext{Ausfall}) = 1 - P( ext{alle funktionieren}) = 1 - 0{,}93^3$$ Berechnung: $$= 1 - 0{,}804357 = 0{,}195643$$ **Endergebnisse:** - Aufgabe 4a: $0{,}012167$ - Aufgabe 4b: $0{,}167375$ - Aufgabe 4c: $0{,}069575$ - Aufgabe 4d: $0{,}208725$ - Aufgabe 5: $0{,}067$ - Aufgabe 6a: $0{,}015625$ - Aufgabe 6b: $0{,}421875$ - Aufgabe 6c: $0{,}140625$ - Aufgabe 7: $0{,}195643$