📘 analyse

1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}.$$ Nous devons :

1. Énonçons le problème : Montrer que la suite est convergente en utilisant une minorante. 2. Rappel : Une suite $(u_n)$ est convergente si elle est monotone et bornée.

1. Calculer les limites suivantes: 1) \(\lim_{x \to 2} \frac{x^3 + 3x^2 + x - 22}{x-2}\)

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par $$f(x) = x^2 + \sqrt{x} - 3.$$

1) a) Montrons que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{1}{2}$.\n Pour $x < 1$, $f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 3} - 2}{x - 1}$.\n

1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

1. **Problème 1 : Continuité de la fonction en $x=1$** On a la fonction $f(x) = \begin{cases} \frac{2x^2 + x - 3}{x^3 - 1} & x \neq 1 \\ 2a - 6 & x = 1 \end{cases}$.

1. **Énoncé du problème** : Soit la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{4x}{4 + x^2}$$ avec $D_f = \mathbb{R}$. Nous devons montrer plusieurs propriétés et étudier les variatio

1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{4x}{4 + x^2}$ avec $D_f = \mathbb{R}$. Montrer que $|f(x)| \leq 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. 2. **Mon

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $f(x) = -x + \sqrt{x^2 - x}$. 2. **Déterminer le domaine de définition $D_f$ :**

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $g$ définie par $$g(x) = 3x^3 - 4x^2 + 4x$$ 2. **Étude de la fonction $g$ :**

1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux fonctions :

1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

1. **Énoncé du problème** : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 \in \mathbb{R} \setminus \{-5\}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $$u_{n+1} = f(u_n) = \frac{4u_n + 2}{u_n + 5}.$

1. **Énoncé du problème :** On considère une fonction $f$ continue sur $]-\infty;1]$ et dérivable sur $]-\infty;1[$, avec un graphe donné.

1. **Énoncé du problème :** On donne les valeurs de la fonction $f$ en certains points :

1. Calculer les limites suivantes : 1) $$\lim_{x \to -\infty} \left(-\frac{3}{2}x^8 - x^3 - 2x\right)$$

1. **Énoncé du problème :** On a deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[-3;3]$ avec leurs courbes $(C_f)$ et $(C_g)$.

1. **Énoncé du problème :** On étudie les fonctions f et g définies sur [-3;3] avec leurs courbes (Cf) et (Cg).

1. **Énoncé du problème** : Calculer la limite de la suite $d_n = \frac{1 + (-1)^n \sqrt{1+n^2}}{2n + \cos(n)}$ lorsque $n \to +\infty$, si elle existe. 2. **Analyse du numérateur*

1. Énonçons le problème : on cherche à analyser la suite définie par $$b_n = \frac{e^n + e^{2n}}{(1 + 3e^n)^2}$$. 2. Simplifions l'expression en factorisant le numérateur : $$e^n +