∫ calculus

1. **Problem statement:** A spherical balloon's volume increases at a rate of $\frac{3}{20}$ cm$^3$/s.

1. **State the problem:** We want to evaluate the integral $$\int \frac{9x^3 - 7x + 5}{x^3 - x^2} \, dx.$$\n\n2. **Perform long division:** Since the degree of numerator (3) is equ

1. **State the problem:** Evaluate the integral $$\int \frac{5x^2}{x^4 - 1} \, dx$$. 2. **Identify the integral type:** This is a rational function integral where the denominator c

1. **State the problem:** We want to express the integrand $$\frac{16x^2}{(x-12)(x+4)^2}$$ as a sum of partial fractions and then evaluate the integral $$\int \frac{16x^2}{(x-12)(x

1. **State the problem:** Evaluate the integral $$\int \cos(10x) \cos(5x) \, dx$$. 2. **Use the product-to-sum formula:** For cosine functions, the product-to-sum identity is

1. **State the problem:** Evaluate the integral $$\int \frac{dx}{x^2 (x^2 + 1)}.$$\n\n2. **Formula and approach:** We use partial fraction decomposition for rational functions. The

1. **State the problem:** Find the limit $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{2 - 2\cos x} - \frac{1}{x^2} \right).$$ 2. **Recall important formulas and rules:**

1. **State the problem:** Find the derivative with respect to $x$ of the integral $$\frac{d}{dx} \int_0^{\sqrt{x}} \cos t \, dt.$$ 2. **Recall the Fundamental Theorem of Calculus a

1. **Problem:** Find the equation of the tangent line to the function $$f(x) = x^2 \sqrt{16 - x^2}$$ at $$x = 1$$. 2. **Step 1: Find the derivative $$f'(x)$$.**

1. نبدأ بكتابة الدالة المعطاة: $$ د(س) = ٢٣ س^٣ - ٥ س + ب $$ 2. لإيجاد النقاط الحرجة، نحتاج إلى حساب المشتقة الأولى للدالة وجعلها تساوي صفر:

1. **مشكلة:** لدينا الدالة $f(x) = x + \ln(x)$ ونريد إيجاد النقاط الحرجة، وفترات التزايد والتناقص. 2. **صيغة النقاط الحرجة:** النقاط الحرجة هي حيث يكون المشتق الأول للدالة صفرًا أو

1. نبدأ ببيان المسألة: لدينا الدالة د (س) = س³ + ٢س ونريد معرفة عدد النقاط الحرجة لها. 2. النقاط الحرجة هي النقاط التي تكون فيها مشتقة الدالة صفرًا أو غير معرفة.

1. نبدأ ببيان المشكلة: لدينا منحنى د(س) ونريد تحديد الفترات التي تكون فيها د'(س) تزايدية والفترات التي تكون فيها د(س) تزايدية. 2. لفهم د'(س) تزايدية، نعلم أن د'(س) هي مشتقة د(س)، و

1. نبدأ ببيان المسألة: لدينا الدالة د(س) = 2 - س \cdot \cos(s) حيث س \geq 0 و \text{الدالة معرفة على الفترة } (0, \pi). المطلوب هو تحديد الفترة التي تكون فيها الدالة متناقصة. 2. لح

1. نبدأ بتحديد الدالة المعطاة: $$d(s) = (s - 2) \cos(s)$$ حيث $$s \in [0, 200]$$. 2. لإيجاد الفترات التي تكون فيها الدالة متناقصة، نحتاج إلى دراسة إشارة المشتقة الأولى $$d'(s)$$.

1. **State the problem:** Differentiate the function $f(x) = \frac{pn3x}{x}$ with respect to $x$. 2. **Simplify the function:** Since $f(x) = \frac{pn3x}{x}$, we can simplify by ca

1. **Differentiate from first principle** the function $f(x) = x^2 - 3x + 1$. The first principle definition of the derivative is:

1. نبدأ بحساب التكامل: $$\int (3\sqrt{x} - 2^x) \, dx$$ 2. نكتب التكامل كالتالي: $$\int 3x^{\frac{1}{2}} \, dx - \int 2^x \, dx$$

1. The problem asks to find the correct integral to evaluate the area of the shaded region in a polar graph where the radius is given by $r = 2 + 2 \sin \theta$. 2. The formula for

1. **Problem:** Integrate with respect to $x$ the function $$\frac{23-1}{x^2 + 4x - 12}.$$ 2. **Simplify the numerator:** $$23 - 1 = 22.$$ So the integral becomes $$\int \frac{22}{

1. **State the problem:** Find the derivative of the function $f(x) = \frac{1}{x^2}$ using the first principle of derivatives. 2. **Recall the definition of derivative from first p