∫ calculus

1. **Problem Statement:** Given the functions $f(x) = \{x\}$ (the fractional part of $x$), $g(x) = 1 - \{x\}$, and $h(x) = \min(f(x), g(x))$, analyze the continuity and differentia

1. **Problem Statement:** Find the second partial derivatives $f_{12}$ and $f_{22}$ of the function $$f(x,y) = e^x \sin x + \ln(xy)$$ 2. **Formulas and Rules:**

1. **State the problem:** Evaluate the integral $$\int_0^1 \int_0^\infty e^{-(x^2 + y^2)} \, dx \, dy$$ by converting to polar coordinates, and then use this to find $$\int_0^\inft

1. The problem is to evaluate an integral by converting to polar coordinates. 2. When converting to polar coordinates, we use the transformations $x = r\cos\theta$ and $y = r\sin\t

1. **State the problem:** We need to find the arc length function $s(x)$ for the curve given by $$y = x^2 - \frac{1}{8} \log x$$ starting from the point $P_0(1,1)$. 2. **Recall the

1. **State the problem:** Find the arc length function for the curve $$y = x^2 - \frac{1}{8} \log x$$ starting from the point $$P_0(1,1)$$. 2. **Formula for arc length function:**

1. **Problem Statement:** Apply Rolle’s theorem to the function $f(x) = \sin x \sqrt{\cos 2x}$ on the interval $[0, \frac{\pi}{4}]$ and find $x$ such that $0 < x < \frac{\pi}{4}$ w

1. **Problem:** Find the exact values of $x$ when the gradient of the curve $y = \tan^{-1}(4x)$ is $\frac{1}{4}$. 2. **Formula:** The gradient of the curve is the derivative $\frac

1. The problem asks to find the exact values of $x$ when the gradient of the curve $y = \tan^{-1}(4x)$ is $\frac{1}{4}$. 2. The formula for the gradient of $y = \tan^{-1}(u)$ is $\

1. **Stating the problem:** We want to find the integral $$\int \frac{\sin x}{\sin(x+\alpha)} \, dx$$ where $\alpha$ is a constant. 2. **Formula and approach:** To solve this integ

1. **معادلة العمودى للمنحنى عند النقطة (1,1)** المعطى: ٢ + لو م ص . ...... ٢ + س + ص لو م س = عند النقطة (1,1)

1. نبدأ بقراءة المسألة: لدينا نقاط (9,0) و (0,4) ونقطة ح د و س التي إحداثي ح (د ح ب) يجب أن يكون أكبر ما يمكن. 2. نفهم أن المطلوب هو إيجاد إحداثي ح (د ح ب) بحيث يكون أكبر قيمة ممكن

1. نبدأ بقراءة السؤال الأول: تحديد نقطة الانقلاب للمنحنى د(س). 2. نقطة الانقلاب هي النقطة التي يتغير عندها تقعر المنحنى، أي حيث يتغير إشارة المشتقة الثانية.

1. مسئله: حاصل انتگرال دوگانه $$\int_0^\pi \int_0^\pi (\sin x + \cos y) \, dy \, dx$$ را بیابید. 2. فرمول و قوانین مهم: انتگرال دوگانه روی مستطیل به صورت $$\int_a^b \int_c^d f(x,y)

1. **Statement of the problem:** We have the function $$f(x) = \frac{1 + \ln x}{x}$$ defined on the interval $]0, +\infty[$. We need to: 1) Calculate the limits of $f$ at $0^+$ and

1. **State the problem:** Evaluate the integral $$\int_{-\infty}^{0} e^{x} \sqrt{1+e^{x}} \, dx$$. 2. **Substitution:** Let $$t = \sqrt{1+e^{x}}$$, so $$t^{2} = 1 + e^{x}$$.

1. مسئله: مقدار سری نامتناهی $$\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n(n+2)}$$ را با روش تفکیک کسرها و روش تلسکوپی بیابید. 2. فرمول و روش: برای تفکیک کسرها، کسر را به صورت جمع دو کسر ساده‌تر

1. مسئله: مشتق تابع $y=10x^2$ را پیدا کنید. 2. فرمول مورد استفاده: مشتق تابع چندجمله‌ای $y=ax^n$ برابر است با $$\frac{dy}{dx} = a n x^{n-1}$$

1. مسئله: مشتق ضمنی تابع $y - \sin(xy) = \ln(x) y$ را بیابید. 2. برای مشتق ضمنی، هر دو طرف معادله را نسبت به $x$ مشتق می‌گیریم و توجه می‌کنیم که $y$ تابعی از $x$ است، پس از قاعده ز

1. مسئله: مشتق ضمنی تابع $y - \sin(xy) = \ln(xy)$ را بیابید. 2. برای مشتق ضمنی، هر دو طرف معادله را نسبت به $x$ مشتق می‌گیریم و از قاعده زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم.

1. **Problem:** Find the limit $$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}$$. 2. **Formula and Rule:** The fundamental limit is $$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta