📘 algèbre linéaire

1. **Énoncé du problème :** Soit $E = \mathbb{R}^3$ et $F = \{v = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y - z = 0\}$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

1. Énoncé du problème : Calculer $A + B$, $A - 5B$, $A + C$, $AB$, $BC$, $BD$, $CD$, $DC$, $B^2$, $\det(A)$, $\det(B)$, $\det(C)$, et $\det(D)$ pour les matrices données. 2. Rappel

1. **Énoncé du problème :** Trouver les valeurs propres de l'endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice dans la base canonique est

1. Le problème : Expliquer la notion de sous-espace vectoriel engendré. 2. Définition : Un sous-espace vectoriel engendré par un ensemble de vecteurs $\{v_1, v_2, \dots, v_k\}$ dan

1. Le problème : Comprendre ce qu'est un sous-espace vectoriel. 2. Définition : Un sous-espace vectoriel est un ensemble de vecteurs qui respecte trois propriétés importantes :

1. **Énoncé du problème :** On a une matrice $A = \begin{pmatrix}0 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix}$ et une application linéaire $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^

1. **Énoncé du problème :** Montrer que $E = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - 2z = 0 \text{ et } 2x - y - z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.

1. Le problème concerne la correction d'une erreur dans la détermination des vecteurs propres. 2. Rappelons que pour trouver un vecteur propre $\mathbf{v}$ associé à une valeur pro

1. Énonçons le problème : Vous souhaitez comprendre l'espace vectoriel, un concept fondamental en algèbre linéaire. 2. Définition : Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs

1. Énonçons le problème : On veut montrer que $\dim(E) \geq$ indice de nilpotence de $(V \circ U)$, c'est-à-dire que $(V \circ U)^n = 0$ pour un certain entier $n \leq \dim(E)$.\n\

1. Énonçons le problème : On a une matrice $A$ telle que $A^{n+1} = 0$. On cherche à déterminer l'indice de nilpotence de $A$. 2. Rappel de la définition : L'indice de nilpotence d

1. **Énoncé du problème :** On considère un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ et deux endomorphismes $U$ et $V$ tels que $(V \circ U)^{n+1} = 0$. La question est de savoir si c

1. Énoncé du problème : Dans un système linéaire que l'on veut écrire sous forme matricielle, on se demande quel est l'ordre correct des variables parmi $c$, $z$, $p$, et $t$.

1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour un endomorphisme $f$ d'un espace vectoriel réel $E$ de dimension finie $n \geq 2$, tel que $f^2 = f$ (c'est-à-dire $f$ est un projecteu

1. **Énoncé du problème** : Implémenter la méthode de Jacobi pour résoudre le système linéaire $Ax = b$. 2. **Principe de la méthode de Jacobi** :

1. **Énoncé du problème :** Trigonaliser la matrice

1. **Énoncé du problème :** Nous devons trigonaliser la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 6 & -3 \\ -1 & 4 & 0 \end{pmatrix}$. 2. **Définition et méthode :** Trigonali

1. **Énoncé du problème :** Déterminer le type d'ensemble $A = (1,2) + \lambda(1,1) + \mu(1,-2)$ avec $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. 2. **Formule et règles importantes :** Un ensem

1. **Déterminer k pour que U et V soient orthogonaux** Les vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

1. Énoncé du problème : Soient $p$ et $n$ deux entiers naturels non nuls supérieurs ou égaux à 2, et $x=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$, $y=(y_1, y_2, \ldots, y_n)$ deux éléments de $(\ma

1. Le problème consiste à comprendre ce qu'est une base orthonormée dans un espace vectoriel. 2. Une base orthonormée est un ensemble de vecteurs qui sont à la fois orthogonaux (pe