📘 analysis

1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \operatorname{argth}(g(x))$ avec $g(x) = \frac{x}{\sqrt{3 + x^2}}$.

1. Le problème consiste à comprendre où placer les symboles $\delta$ et $\varepsilon$ dans la définition formelle de la limite d'une fonction. 2. La définition classique de la limi

1. **بيان المسألة:** لدينا الدالة $$f$$ معرفة على $$]0,+\infty[$$ كما يلي: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{x - \ln x} & x > 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$$

1. **Problem statement:** Bestimme zu der Funktion $$f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2$$ die Koordinaten und Art der Extrema sowie die Monotonie-Intervalle.

1. **Énoncé du problème :** Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet une solution $\alpha$ telle que $\frac{3}{2} < \alpha < 2$, sachant que $f(2) \approx 2,37$ et $f\left(\frac{3}{

1. **State the problem:** Evaluate the integral

1. **State the problem:** We want to find the real values of $x$ for which the series $\sum_{n=1}^\infty n^x$ converges. 2. **Recall the formula and rules:** The series is a p-seri

1. **Stating the problem:** We want to analyze how the convergence of the infinite series $$\sum_{n=r}^\infty \frac{(n-r)!}{n!}$$ depends on the integer $r$. 2. **Understanding the

1. **Problem statement:** Given the function $f(x) = -x^5 + 2x^3 + x$ with $x \in \mathbb{R}$, prove the following statements: 2. **Symmetry of $G$ about the origin:**

1. **Problemstellung:** Gegeben ist das Schaubild einer Funktion $f$ mit Definitionsbereich $[-7;7]$. Es sollen die folgenden Behauptungen begründet werden, ob sie wahr oder falsch

1. **Problem statement:** Berechnen Sie den Inhalt der grau unterlegten Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f(x) = e^{-0,5x}$, der Tangente im Punkt $S(0|1)$ und der Geraden

1. **Problem:** Bestimmen Sie eine Stammfunktion $F(x)$ der Funktion $f(x)$, d.h. eine Funktion, deren Ableitung $f(x)$ ist. 2. **Formel:** Die Stammfunktion einer Potenzfunktion $

1. **Problemstellung:** Bestimmen Sie eine Stammfunktion $F(x)$ der Funktion $f(x) = 0{,}5x^3$. 2. **Formel:** Die Stammfunktion einer Potenzfunktion $f(x) = ax^n$ ist gegeben durc

1. **Stating the problem:** Wir sollen den Differenzenquotienten der Funktion $f$ im Intervall $I=[0;2]$ berechnen, wobei $f(x) = x^2$.

1. **Aufgabe 3: Verhältnis der Teilflächen im Rechteck** Gegeben ist die Funktion $$f(x) = x(x-3)^2$$ mit dem Eckpunkt $$H(1|4)$$ eines Rechtecks, dessen zwei Seiten auf den Koordi

1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $f(x) = 3 \sin\left(\frac{\pi}{3} x\right)$ für $x \in [-1,4]$. Aufgabe 2a: Bestimmen Sie den Flächeninhalt $A$ der markierten Fläc

1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Parabel $$y = -(x-2)^2 + 4$$ und die Gerade $$y = mx$$.

1. **Aufgabe 1: Erste Ableitung der Funktion bestimmen** Gegeben sind Funktionen mit Exponentialausdruck, wir verwenden die Ableitungsregel für Exponentialfunktionen:

1. **Problemstellung:** Wir sollen die Extrempunkte und Wendepunkte der Funktion $$f(x) = (x^2 - x) \cdot e^{0.5x}$$ bestimmen. 2. **Formeln und Regeln:**

1. **Problemstellung:** Wir sollen die Extrempunkte und Wendepunkte der Funktion $$f(x) = (x^2 + x) \cdot e^{0{,}5x}$$ bestimmen. 2. **Formeln und Regeln:**

1. Problem 3a: Gegeben ist die Funktion $$f(x) = \frac{1}{8}(x^3 - 3x^2 - 9x + 27)$$ und eine Gerade $$g$$, die mit dem Graphen von $$f$$ eine Fläche einschließt. 2. Um den Flächen