📘 analysis

1. **Problemstellung:** Gegeben sind Hoch- und Tiefpunkte eines Funktionsgraphen $f$. Es soll beschrieben werden, wie sich das Vorzeichen der ersten Ableitung $f'$ an diesen Extrem

1. **Problemstellung:** Die Frage lautet, ob die Verkettung (Komposition) von zwei Riemann-integrierbaren Funktionen immer Riemann-integrierbar ist. 2. **Definition:** Eine Funktio

1. **Problemstellung:** Wir sollen das Monotonieverhalten der Funktion $f(x)=x^4-6x^2+1$ untersuchen und die Nullstellen bestimmen. 2. **Monotonieverhalten:** Dazu berechnen wir di

1. **Problem 11a:** Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x) = 7x^3 - 5x^2 + 9x - 2$. 2. **Formel:** Die Ableitung einer Potenzfunktion $x^n$ ist $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$.

1. **Problem statement:** Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion für die gegebenen Funktionen. 2. **Formel:** Die Ableitung einer Potenzfunktion $f(x) = cx^n$ ist gegeben durch $$f'(

1. Problemstellung: Berechne das bestimmte Integral \(\int_{-1}^{1} (x^3 - 2x + 1) \, dx\).\n\n2. Formel und Regeln: Das bestimmte Integral einer Funktion \(f(x)\) von \(a\) bis \(

1. **Problem statement:** Calculate the definite integral \(\int_{-1}^1 (x^3 - 2x + 1) \, dx\). 2. **Formula and rules:** The definite integral of a function \(f(x)\) from \(a\) to

1. Das gegebene Problem ist, die Ableitung der Funktion zu bestimmen, deren Graph eine kubische Kurve ist, die die x-Achse bei etwa $x=-1$, $x=0$ und $x=2$ schneidet. 2. Eine kubis

1. **Problem statement:** We want to show that for smooth positive functions $u_1, u_2$ and the Riesz transform operator $R$, the integral $$\int (R(u_1) - R(u_2)) (u_1 R u_1 - u_2

1. **Problem:** Untersuchen Sie, ob die Funktion $f$ im angegebenen Intervall streng monoton zu- oder abnehmend ist. 2. **Formel:** Die Monotonie einer Funktion wird durch das Vorz

1. **Problem statement:** Ordne die gegebenen Funktionsgleichungen jeweils die richtigen Graphen zu. 2. **Wichtige Regeln:**

1. The problem is to determine the radius of convergence of a power series and find the value of the series, its derivative, and its integral at each point within that radius. 2. T

1. **Problem:** Consider the power series $$\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^k (x-3)^k.$$ Find the radius of convergence and closed form of the function it represents.

1. **Problem:** Berechne die erste Ableitung von \(f(x) = (x^2 + 2) \cdot \sin(2x)\) und \(g(x) = (3 - x) \cdot e^{3x}\). 2. **Formeln und Regeln:**

1. **Problem statement for 2a:** Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graph von $f(x) = \cos(x) + 2$ und der x-Achse über dem Intervall $[-\pi; 1]$. Da $f$ keine Nullst

1. **Problem:** Gegeben sind die Funktionen $f(x) = -4e^x + 6$ und $h(x) = 2e^{-x} - 3$. Gesucht sind die Schnittstellen der Graphen von $f$ und $h$. 2. **Formel:** Schnittstellen

1. **Problem statement:** Untersuchen Sie die Funktion $$f(x) = -\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x$$ auf Monotonie und Extremstellen. 2. **Formeln und Regeln:**

1. **Problem statement:** Skizzieren Sie zum Graphen von $f$ den Graphen einer Stammfunktion $F$ für die Funktion $f$.

1. **Problemstellung:** Wir sollen die Stammfunktion von $f(x)=2-2x$ berechnen, deren Graph durch den Punkt $P(1,0)$ verläuft. 2. **Formel für die Stammfunktion:** Die Stammfunktio

1. **Problem statement:** Berechnen Sie die Differenzenquotienten für die Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ an den angegebenen Stellen:

1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $$f(x) = (x - 1)^2 \cdot e^{2x}$$ und ein Punkt $$P(u|f(u))$$ mit $$u \in [0,1]$$ auf dem Graphen. Gesucht ist der Wert von $$u$$,