📘 algèbre

1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{5 + 8u_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. **Énoncé du problème :** Montrer que la suite de terme général $a_n = \frac{e^n}{4n+2}$ est géométrique. 2. **Rappel :** Une suite $(a_n)$ est géométrique s'il existe un nombre

1. **Énoncé du problème :** On considère le polynôme $P(x) = 2x^3 - 5x^2 - x + 6$.

1. Étudions le signe du polynôme $a) \ (x - 3)^2 - 16$. Le polynôme est une différence de carrés :

1. Énonçons le problème : Simplifier l'expression $$c = \sqrt{x^2 + 2x + 1} - \sqrt{x^2 - 2x + c}$$. 2. Observons que $$x^2 + 2x + 1$$ est un trinôme qui peut être factorisé comme

1. Énoncé du problème : Nous allons résoudre la première équation donnée en utilisant une méthode simple et adaptée au niveau lycée. 2. Formule et règles importantes : Pour résoudr

1. **Énoncé du problème :** Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $2 < u_n < 4$ où la suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = g(u_n,u_{n-1})$

1. **Énoncé du problème :** Calculer $A = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}$ et $B = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$. 2. **Formule utilisée :** Pour des racines carrées, $\frac{\sqrt{a}}{\sq

1. **Énoncé du problème :** Calculer les puissances suivantes : $$\left(-\frac{4}{3}\right)^7, \left(-0.02\right)^5, \left(\frac{7}{19}\right)^2, \left(\frac{1}{25}\right)^3, \left

1. **Énoncé du problème :** Factoriser l'expression $2x^2 + 3x - 4$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour factoriser un trinôme de la forme $ax^2 + bx + c$, on cherche deux

1. **Énoncé du problème :** Déterminer si la suite $a_n = 5n + 2$ est géométrique. Si oui, trouver la raison $q$ et le premier terme $a_0$. 2. **Rappel :** Une suite $(a_n)$ est gé

1. **Énoncé du problème :** Montrer que la loi \( x \star y := x + y - axy \) est associative et qu'elle admet un élément neutre. 2. **Formule et règles importantes :** Pour une lo

1. Énoncé du problème : Soit $E = \mathbb{R}_2[X]$ l'espace des polynômes de degré au plus 2, et $q : E \to \mathbb{R}$ la forme quadratique définie par $q(P) = b^2 - 4ac$ pour $P(

1. **Énoncé du problème :** Calculer les valeurs des expressions $A = 9 - \frac{3}{2} (7 - x)$ et $B = 4x - \frac{7}{3}$ pour $x=2$, $x=0$ et $x=-5$. 2. **Formules utilisées :**

1. Énonçons le problème : tracer la courbe de la fonction $Y=\frac{1}{2}(x+1)^2$. 2. La formule utilisée est celle d'une fonction quadratique sous forme canonique :

1. Énonçons le problème : tracer la courbe de la fonction $$y=\frac{1}{2}(1+x)^2$$. 2. La formule utilisée est celle d'une fonction quadratique sous forme développée. Ici, la fonct

1. **Énoncé du problème :** On pose $A = \sqrt{7} - \sqrt{13} - \sqrt{7} + \sqrt{13}$.

1. Énoncé du problème : Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a - b = \sqrt{\varepsilon}$. Comparer $a$ et $b$. 2. Formule et règles importantes : La racine carrée $\sqrt{\varepsi

1. Le déterminant est une valeur associée à une matrice carrée, c'est-à-dire une matrice avec le même nombre de lignes et de colonnes. 2. Pour calculer le déterminant, il faut touj

1. **Énoncé du problème :** Soit la suite $(U_n)$ définie par $U_0=3$ et $\forall n \in \mathbb{N} : U_{n+1} = \frac{4U_n + 3}{3U_n + 4}$.

1. Énoncé du problème : On a $B^2 = 12$ et on doit déduire la valeur de $B$ en utilisant les valeurs absolues. 2. Formule utilisée : Si $B^2 = 12$, alors $B = \pm \sqrt{12}$.