📘 algèbre

1. Énoncé du problème : Soit $(G, \cdot)$ un groupe et $S$ un sous-groupe de $G$. On définit $C_S = \{x \in G \mid x \cdot y = y \cdot x \ \forall y \in S\}$. Il faut vérifier que

1. **Énoncé du problème :** Calculer la somme $S$ des 12 premiers termes d'une suite arithmétique $(U_n)$ de premier terme $U_1 = 2$ et de raison $r = 5$.

1. Énoncé du problème : Résoudre l'exercice numéro 2 (sans plus de détails, supposons qu'il s'agit d'une équation algébrique simple à résoudre). 2. Formule et règles importantes :

1. **Énoncé du problème :** Soient $sc$ et $y$ deux nombres réels tels que $1 \leq sc \leq 2$ et $y \in [2,5]$.

1. Énonçons le problème : Calculer $a+1$ pour $a=2$. 2. La formule est simplement l'addition : $a+1$.

1. **Énoncé du problème :** Comparer $2\sqrt{5}$ et $3\sqrt{2}$, puis en déduire la comparaison de $2\sqrt{5} + 3$ et $3\sqrt{2} + 3$, comparer $\frac{1}{2\sqrt{5}}$ et $\frac{1}{3

1. **Énoncé du problème :** Effectuer la division euclidienne de $P(X) = X^4 - 4X^3 - 2X^2 + 12X + 9$ par $P'(X)$, la dérivée de $P(X)$.

1. **Énoncé du problème :** Montrer par récurrence que $0 \leq U_n \leq 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. Énoncé du problème : Trouver graphiquement le point d'intersection des droites définies par les équations $$y = \frac{2}{3}x - 6$$ et $$y = -x + 4$$. 2. Formule et règle importa

1. Le problème concerne la compréhension de pourquoi il faut que $P_m(j)$ et $P_m(j^2)$ soient égaux à zéro. 2. Ici, $j$ est une racine cubique primitive de l'unité, donc $j^3=1$ e

1. **Énoncé du problème :** Soit $j = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ un nombre complexe.

1. Énoncé du problème : Factoriser dans $\mathbb{C}[X]$ puis dans $\mathbb{R}[X]$ le polynôme $$X^{2n} - 2 \cos(n\theta) X^n + 1$$ où $\theta \in \mathbb{R}$ et $n \geq 1$ est un e

1. Énonçons le problème : Vous souhaitez apprendre à faire une fraction rationnelle. 2. Une fraction rationnelle est une expression de la forme $$\frac{P(x)}{Q(x)}$$ où $P(x)$ et $

1. Énoncé du problème : Écrire une matrice $M$ d'ordre 2 notée $M = (m_{ij})_{i,j}$ avec les termes diagonaux égaux à $a^2$, $m_{1,2} = a^2 - 1$ et $m_{2,1} = 2a + 2$. Puis détermi

1. **Énoncé du problème :** Résoudre le système linéaire à trois inconnues $x$, $y$, $z$ :

1. Énoncé du problème : On a le polynôme $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$. On doit vérifier s'il est divisible par $x-1$, puis factoriser et résoudre $P(x) = 0$. 2. Vérification de la

1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout entier naturel $n$, le nombre $$\left(\frac{4^{n+2} + 4^n}{2^{n+1} - 2^{2n}}\right)^2$$ est un entier naturel.

1. Énonçons le problème : résoudre un système d'équations linéaires en utilisant la méthode des systèmes. 2. La méthode des systèmes consiste à manipuler les équations pour isoler

1. Énonçons le problème : Nous avons une suite arithmétique $(U_n)$ telle que $U_2=0$ et $3U_1 + 7U_4 = -9$. Nous devons trouver la raison $r$ de cette suite. 2. Rappel : Dans une

1. Énonçons le problème : développer l'expression $H = (5 - 2p)^2$. 2. Rappelons la formule de développement d'un carré d'une différence :

1. Énonçons le problème : développer l'expression $E = (2x + 1)^2$. 2. La formule utilisée est celle du carré d'une somme : $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.